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指數與對數的交會情形

張貼者：2011年12月22日 晚上9:22pegasus@ymsh.tp.edu.tw   [ Chiwei Lo 已於 2011年12月25日 晚上10:10 更新 ]


指數與對數的交會情形有四種：
(1) 沒交點 (2) 相切 (3) 交兩點 (4) 交三點

相關計算：
在93年12月，數學傳播 28 卷 4 期的文章：「指對數圖形交點數的探討」就已經討論過這個問題了。

解答：
當它們交會在 這條直線上時，因為交點座標  位於  上，而且此點的切線斜率為 1，所以此交點會符合兩個方程式：


的微分（也就是 的切線斜率）為
稱為「自然對數」，也就是以「尤拉數」e ≒ 2.718281 為底的對數函數

將第 式代入第 式，我們可以得到：


所以：


代回第 式，可得：


兩邊取「自然對數」，可得：



然後，兩邊取「自然指數」，可得：

再取一次「自然指數」，可得：


將此結果代回第 式，可得：


從以上的討論，我們得到一些結論：

  • 切點座標為 
  • 指數函數和對數函數的底數等於  時，它們才會剛好相切。


「尤拉數」e ≒ 2.718281 ，再度出現在此問題的解答中，不得不令人由衷敬佩數學家「尤拉 (Euler)」的偉大。

 以上的討論，主要是針對底數 a > 1 的情況。如果底數 < 1 呢？ 有趣的是，它們還會再「接觸」一次，但方式有點不同。

指對數第二次接觸

 透過類似上面的討論方式，檔底數 < 1 時，我們可以推得：

  • 當 a=e^{-e} （大約等於 0.07）時，指對數函數會在座標 \left( e^{-1}, e^{-1} \right) 的地方相切，大約是在 (0.37, 0.37)左右（請看右圖）。
  • 更有趣的是，如果 0<a<e^{-e}時，那指對數函數竟然會交於「三個」地方，這恐怕是許多人所沒有想過的問題（請看下圖）。

指對數交於三點

| 附件: explog.ggb 指對數交點(數學傳播28卷4期-民93年12月).pdf

分數的大小變化

張貼者：2011年9月6日 清晨6:33pegasus@ymsh.tp.edu.tw   [ 已更新 2011年9月6日 清晨6:50 ]

  • 我們可以一眼看出哪個分數比較大，而不用通分嗎？

  • a/b + c/d 會等於 (a+c)/(b+d) 嗎？

  • a/b 與 (a+x)/(b+x) 哪一個大？


| 附件: fractions.ggb

微積分基本定理

張貼者：2011年4月13日 晚上11:04Chiwei Lo   [ 已更新 2011年5月17日 晚上8:19 ]


這個圖檔用來說明微積分中最重要的觀念「微積分基本定理」(the Fundamental Theorem of Calculus)。

| 附件: calculusFundamentalTheorem.ggb

垂足三角形

張貼者：2011年4月11日 晚上9:56Chiwei Lo   [ 已更新 2011年4月11日 晚上10:07 ]

在一個銳角三角形的三邊上各取一點，再接一個三角形，此時其最小周長為何？

請看下面的影片介紹：

什麼時候會得到最短周長呢？請看：


| 附件: footTriangle.ggb footTriangle2.ggb

黎曼和 (Riemann Sum)

張貼者：2011年4月11日 清晨7:12Chiwei Lo   [ 已更新 2011年4月11日 清晨7:18 ]

註：請用 GeoGebra 4.0 開啟下面的附檔

| 附件: RiemannSum.ggb

辛普森詭辯

張貼者：2011年4月4日 上午8:50Chiwei Lo   [ 已更新 2011年4月4日 上午9:26 ]


參看維基百科

從圖形的角度來說，辛普森詭辯(Simpson's Paradox)可以這樣來解讀：
右圖中，紅色的向量始終位於藍色向量的右側（有兩組，一組是粗的，一組是細的），但是如果將紅色的向量與藍色的向量分別加起來，藍色的（藍色虛線）可能反而會位於紅色的右側。

| 附件: simpson paradox.ggb

函數的「局部線性」性質

張貼者：2011年3月9日 清晨5:01pegasus@ymsh.tp.edu.tw   [ 已更新 2011年3月9日 清晨5:08 ]

| 附件: locallinearity(4b).ggb

泰勒展開式

張貼者：2011年3月6日 晚上9:44pegasus@ymsh.tp.edu.tw   [ 已更新 2011年3月6日 晚上11:31 ]



| 附件: taylor.ggb

函數的遞增遞減、凹凸性

張貼者：2011年2月16日 下午6:44pegasus@ymsh.tp.edu.tw   [ 已更新 2011年2月16日 晚上7:11 ]

* 利用滑鼠在 f(x) 上點兩下，可以更改 f(x) 的函數定義。

圖示：

| 附件: concave.ggb

平行六面體

張貼者：2011年1月19日 晚上8:03pegasus@ymsh.tp.edu.tw   [ 已更新 2011年1月19日 晚上8:38 ]

空間中的「平行六面體」是由三個向量所決定的一種立體形狀，它具有六個面，每個面都是平行四邊形：



| 附件: 平行六面體.geosave

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